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2007年4月14日 (土)

対数螺旋を調べるソフトウエア

オウムガイやアンモナイトそれに巻貝の巻き方は、対数螺旋になっています。

本日は、三角形の比例(相似三角形)を使うと、対数螺旋の性質が調べられます、というお話です。

対数螺旋になっていれば、その次の成長が現在の大きさに比例しているはずです。利子に利子がつく複利の借金のように増えていくのです。(複利: 元利合計=元金 x(1 + 利率)の n 乗)グラフでのイメージはこちら

その性質を利用して、対数螺旋の性質を調べるソフトウエアが「Spiral」です。

「Spiral」で対数螺旋を調べる仕組みを説明します。

ソフトを起動したら、対数螺旋になっていると思われるものの写真を取り込みます。今回は「ダ・ヴィンチ・コード」で取り上げられていたオウムガイです。

Spiral螺旋の中心と、中心から水平に線を引いて螺旋とぶつかる点と、そこから30度回転した線と螺旋とがぶつかる点の3点を結ぶ三角形を描きます。

最初の線分の長さと、30度回転した線分の長さの比で、中心角30度の三角形を描きます。画面左に、基本となる三角形の形と、2つの線分の比が表示されます。

この三角形をその比で30度回転しながら、を次々描いていきます。最初は写真のオウムガイの螺旋とずれますが、最初の線分の長さと比を調整して、写真の螺旋に合うようにします。このオウムガイでは、その比は1.093です。

このようにすると、調べようとする螺旋が対数螺旋になっているかどうかがわかります。さらに、その性質を調べるには・・・。

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Spiral1 このソフトでは、回転させる角度を変えることができます。オウムガイは、隔壁を作りながら成長していますから、それの比がどの程度なのかが調べることができます。回転させる角度を30度から少しずつ小さくしていきます。オウムガイの次の部屋の同じ位置に三角形の頂点がくるようにします。この例では、24.1度ごとに1.074倍になっています。

Spiral2 この回転角度をどんどん小さくしていきます。1度にまですることができます。この例では、その比は1.003倍、すなわちほとんど1です。このとき、三角形のもうひとつの角度が、99.1度になります。

Spiral3 この回転角を限りなく0に近づければ、三角形のもうひとつの角度は螺旋の接線と中心線とのなす角になります。

Spiral4そうすると、この螺旋の極方程式が得られる仕掛けになっています。

このソフトは、対数螺旋の性質を理解しながら対数螺旋を調べることができることを狙ったものです。

このソフトを作って、調べていて「自然の中の黄金比」の代表例とされていたオウムガイの螺旋は、黄金比とは似て非なるものだとわかりました。

「90度回転したところで黄金比になる」という説が正しいかどうかを確認するには、最初のステップで30度の回転を90度に変更してやればよいのです。それが1.618倍になれば黄金比です。私も自分で作ってやってみたら、「ぜんぜん違うじゃん」となって驚きました。ちなみにこのオウムガイでは、90度回転させると1.306倍になります。

「Spiral.zip」をダウンロード

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