「常用対数盤」

271828さんのブログで、円形の計算尺から、対数円盤の話題が取り上げられていました。

そこで紹介されていた森毅著『指数・対数のはなし―異世界数学への旅案内』（東京図書）に掲載されている挿絵の対数円盤が面白いと思ったので、プログラムで組んでみました。

私の時代は、高校の数学の教科書の最後には、三角関数表と対数表がついていました。今は、電卓を叩くと即座に答えが出てきます。

数値だけが出てくるデジタル時計では、時間感覚が沸きにくく、針表示の時計が復活してきています。

対数・指数や三角関数は「イメージ」による直感的な理解が必要ではないかと思います。さて、このソフトウエアは、そのためのツールになりうるでしょうか。

ちょっと煮詰まっていましたので、息抜きで作ってみました。

「Logarithm.zip」をダウンロード(version 1.0.5)

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対数螺旋を調べるソフトウエア

オウムガイやアンモナイトそれに巻貝の巻き方は、対数螺旋になっています。

本日は、三角形の比例（相似三角形）を使うと、対数螺旋の性質が調べられます、というお話です。

対数螺旋になっていれば、その次の成長が現在の大きさに比例しているはずです。利子に利子がつく複利の借金のように増えていくのです。（複利：　元利合計=元金 x（1 + 利率）の n 乗）グラフでのイメージはこちら。

その性質を利用して、対数螺旋の性質を調べるソフトウエアが「Spiral」です。

「Spiral」で対数螺旋を調べる仕組みを説明します。

ソフトを起動したら、対数螺旋になっていると思われるものの写真を取り込みます。今回は「ダ・ヴィンチ・コード」で取り上げられていたオウムガイです。

螺旋の中心と、中心から水平に線を引いて螺旋とぶつかる点と、そこから30度回転した線と螺旋とがぶつかる点の3点を結ぶ三角形を描きます。

最初の線分の長さと、30度回転した線分の長さの比で、中心角30度の三角形を描きます。画面左に、基本となる三角形の形と、2つの線分の比が表示されます。

この三角形をその比で30度回転しながら、を次々描いていきます。最初は写真のオウムガイの螺旋とずれますが、最初の線分の長さと比を調整して、写真の螺旋に合うようにします。このオウムガイでは、その比は1.093です。

このようにすると、調べようとする螺旋が対数螺旋になっているかどうかがわかります。さらに、その性質を調べるには・・・。

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黄金比発見器

　黄金比って面白いな、と思っていたころ考えて作った「黄金比発見尺（スライダー）」です。

街に出て、これぞと思う縦横比があったらこれをかざしてみると、1対1.6に近いか否かがすぐわかる、というものです。

透明シートに縦横比が黄金比になる長方形を何個も描いたものをかざしたほうが早いような気もしますが、少しメカニカルなものを作りたかったのです。

説明文章を作って「学研」に送ったのですが、何の反応もありませんでした。啓林館にしとけばよかったかな？

本日は没ネタででした。

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Venus comb（ヴィーナスの櫛）

少し硬い話題が続きましたので、今日はCG。ホネガイです。ヨーロッパではVenus comb （ヴィーナスの櫛）という名がついています。

巻貝ですから対数螺旋になっています。Shadeで巻貝の対数螺旋を作れるようになりたいと、時々試みています。十代のときから描きたい絵があって、このCGは近いのですが、まだまだ。CGもプログラミングもまったくの独学自己流です。本格的にきちんとやっている人から見ると、アラがたくさんあるのでしょうが、何かできると楽しいものです。

こちらは、一昨年紀伊国屋で購入した本物のホネガイ。自然の造形の迫力には圧倒されます。

まぁ、簡単にできたなら面白くない。と開き直っておきます。

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アンモナイトをCGで

対数螺旋で遊んでいます。アンモナイトの様々なパターンををコンピュタグラフィックで作ってみたいと、時々試みています。

私が持っているソフトはShadeです。自由曲面のユニットを作って、一定の倍率で回転コピーを繰り返すことでできました。もっとうまい方法があるでしょうか。

三角形の２辺の比と同じ比の相似三角形を積み重ねることで対数螺旋が作れる、という「Spiral」で使った手法の応用でそれらしく描くことが出来ました。

縦断面はできますが、横断面は隔壁ができていないので、まだできません。

少しずつやっていきます。

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対数螺旋の定数を簡単に調べる

対数螺旋は、曲線の接線と中心から引いた線とのなす角が一定になっています。そのために、等角螺旋とも呼ばれます。

対数螺旋にとって、この一定になる角度、右の図でいえばｂの値が曲線の性質を決めます。

この対数螺旋は、XY座標ではなく、中心からの距離（ｒ）と角度（θ）で示す極座標で表すほうが簡単になります。右の図に対数螺旋の極方程式とその図解を示します。

アンモナイトやオウムガイの殻は対数螺旋になっていることが知られていますが、これを実際に調べる方法は、簡単ではないように見えます。

いくつもの対数螺旋をパソコンで描いてOHPシートにプリントして合わせてみる、という方法で調べているかたもいます。

しかし、調べる対象物を写した写真と、平行線を引ける道具、それに分度器さえあれば、簡単に調べることができます。

中心を通る直線を引いて１８０°反対の側にある対数螺旋上の点での接線は平行になることを利用します。

①　まず、平行線を引けるように三角定規を二枚用意します。

②　適当な位置に接線を引きます。そのままずらして行き、反対側に接線を引きます。

③　接点に点を描いて、接点同士を直線で結びます。このとき接点を越えてこの直線を延長しておきます。

④　可能であれば、位置を変えて①～③を繰り返します。

⑤　③で引いた直線と、①②で引いた接線とのなす角を分度器で測ります。

おまけでついてくるようなペイントソフトを使うと、もっと手軽にできます。右の図をクリックしてみてください。Windowsについてくる「ペイント」で試してみた過程を、アニメーションにしています。欄外に適当に直線を引いて、コピー＆貼り付けをしています。

実際の、アンモナイトの写真で試みたのが、右の図です。

この方法の問題点は、

曲線が少なくとも半周以上なければできないことと、分度器で計るために精度が1度程度になることです。

「Spiral」は、パソコンが必要ですが、上の方法よりは使いやすいと自負しています。

　←ここ1週間3位でした。若干下降気味？

オウムガイの美しさ

対数螺旋といえば、オウムガイです。

これは、昨年東急ハンズで購入したものです。オウムガイは、磨くとこのようなパール光沢が現れます。綺麗ですね。怪しい美しさです。しつこいといわれるかもしれませんが、オウムガイに黄金比があるから美しいのではありません。

オウムガイはタコやイカの仲間・頭足類で貝ではありません。オウムガイやアンモナイトの祖先としては直角貝（Orthoceras）が考えられていますが、この殻は円錐です。円錐であれば、プロポーションを変えずに殻も身体も成長させることが可能です。錘状のものを立てて水平方向で切れば、どこで切っても、元の形と相似形になります。

錘状のものをコンパクトに丸めれば、対数螺旋になるわけです。対数螺旋が相似三角形を使って解析できる理由です。

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ブログのデザインを新しくしました。冬が近づいていますので暖色系にしてみました。

対数螺旋の滑り台

対数で遊ぼう、などという世間様にはあまり受け入れてもらえないであろう妄想を抱いて、「Spiral」とういソフトウエアを作っています。対数螺旋の性質を、三角形の相似だけで調べようという試みです。

世の中には色々な人がいるもんだと思いますが、対数螺旋の遊具（滑り台）を作った人がいます。群馬県宮城村総合運動公園にあるようです。右が、その図面です。中の赤色の線は、「Spiral」で描いたものです。

螺旋の性質

1.相似三角形での表示

1.076。３０度回転ごとに1.076倍の相似三角形を描いて、その頂点を結ぶ曲線。

2.極方程式での表示（こちらを参照）

接線と中心線とのなす角＝82.0度

アンモナイトの対数螺旋に、８２度付近が多いように見えます。

こちらに動画があります。滑走感覚をちょっとだけ体験できます。でも加速感や遠心力の感覚は、滑って見なければ分かりませんね。

タワーを回りこむ部分が対数螺旋、それにクロソイドを繋げ、直線部に接続しているとのことです。

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螺旋飛行

　螺旋で遊んでいるサイトに、夏に火に飛び込んでゆく虫の飛行と、航空機のADF（Automatic Direction Finding ）という航法計器の話をアップしました。こちらをクリック。

　左の図は、私が作った航法計器を理解するためのソフトウエアの画面から作りました。巨大な飛行機を飛ばしています（笑い）。

　この飛行軌跡が等角螺旋（対数螺旋）になることが分かれば、対数螺旋の性質がより鮮明に分かると思います。

　昆虫の複眼の構造が、ADFの機能と精度を確保できる構造になっていそうだ、という話などを、おいおい追加していきます。

ダ・ヴィンチ・コード オウムガイ 黄金比

「ダ・ヴィンチ・コード」が映画になって近日公開されるようですね。私も、小説は最後まで読みました。この調子だと、映画も見に行ってしまうのかな？

「Da Vinci Code Special Illustrated Edition」を購入しました。これは、いいですね。装丁も豪華だし、写真も綺麗。章の区切り方も洒落ている。私が購入したときは３０００円を切っていました（今日は3555円）。英語の勉強にでもなるか、と思って買いましたが、見るだけでもおだやかな気分になります。

休日の昼下がり、ロッキングチェアーに揺られながら、のんびりページをめくる・・・・そんなときの本に良いかもしれません。（ロッキングチェアーものんびりした休日もないのが悲しい）

以前にも書きましたが、オウムガイにある螺旋に黄金比はあるか、という話題。

Special Illustrated Editionには、オウムガイの殻の断面写真が掲載されています。私がこれまで見てきた断面写真の中では、色合いも切断の仕方もとても綺麗なものです。早速、螺旋を調べるソフト「Spiral」で調べてみました（赤い線）。対数螺旋の定数ｂは80.4（度）でした。やはり黄金比とは関係がなく、これまで調べたオウムガイの対数螺旋の範囲内です。図の中で黄色い線の螺旋は、黄金矩形に沿う螺旋です。明らかに違いますね。

「Da Vinci Code Special Illustrated Edition」 に掲載されているオウムガイの写真は、The National Alliance of State Science and Mathematics Coalitions （NASSMC）という米国政府が絡んでいると思われるサイトに掲載されている写真を水平方向に反転したものです。

そしてその解説には、こう書いてあります。

Nautilus Shell - This tropical sea-shell is an example of a logarithmic spiral that expresses the golden rectangle which is a rectangle in which the ratio of the length to the width is the Golden Ratio (a number approximately equal to 1.6180339887498948482).

早とちりしそうな微妙な文章ですね。オウムガイの殻は対数螺旋の一例であり、対数螺旋は黄金矩形をexpressする、というわけです。

情報のリテラシーという観点から「自然の中の黄金比」を見ていくと面白いかもしれません。

「天の川銀河」の対数螺旋

望遠鏡で見ることのできる渦巻銀河の螺旋が対数螺旋になっていることを、螺旋を調べるソフト「Spiral」で確認をしました（宇宙の螺旋を調べる）。そのとき思ったのは、私たちの地球が属している「天の川銀河」の螺旋はどうなっているのだろうか、ということです。観察点を天の川銀河の外はるか遠くに置かねばならないことになり、自分の命のある間には無理なのだろうなぁ、と漠然と思っていました。

今日、なにげなくネットをさまよっていたら、「電波データで描き出された天の川銀河の３次元地図」というタイトルの研究記者発表のページを見つけました。中西裕之氏（国立天文台野辺山宇宙電波観測所・研究員）と祖父江義明氏（東京大学天文学教育研究センター・教授）の共同研究とのことです。

「天の川をくまなく観測して得られた膨大な量の中性水素原子(HI)と一酸化炭素分子(CO)の電波スペクトルデータを解析して、私たちの住む天の川銀河の３次元的な全体像を初めて描き出しました。」

   というのです。天の川銀河を上からというか正面というか、ともかく螺旋の腕を見ることのできる図も掲載されているではありませんか。これは、「Spiral」で調べてみるしかありません。図中の赤線と青線は「Spiral」で描き加えたものです。

対数螺旋はアンモナイトやオウムガイさらに巻貝に見ることができます。中心からの直線と螺旋の交点での接線とのなす角（b）がどこでも等しくなることから等角螺旋とも呼ばれます。

「天の川銀河」の対数螺旋には２種類ありそうです。写真の赤線はb＝78.1度、青線はb＝74.9度です。

M101・M51・M74では、b＝72.8度で黄金矩形にそう螺旋と一致したのだけれど、「天の川銀河」では微妙に異なるようです。

自然の中の黄金比

　「自然の中に黄金比になっているものはたくさんある」という人のほとんどは実際に確認していません。確認すると嘘だと分かります。

ここのページの方は、海岸で採取したアオイガイの縦横比を70個ものサンプルで計測しています。この結果を見るとアオイガイの縦横比は黄金矩形に沿う螺旋に近いらしい。

http://beachcomb.exblog.jp/3321189/

そこで、アオイガイ螺旋を螺旋を調べるソフトで調べてみました。

画像の中で、青色の螺旋が黄金比の螺旋です。アオイガイの螺旋は少し間延びしているけれど、近い。

少なくとも、オウムガイの螺旋よりはずっと近いのです。このサンプルだと縦横比は1.70になります。

黄金比ではありませんが、アワビの対数螺旋を調べた方がいます。

http://homepage2.nifty.com/ALABAMA/topics/Topics-200/T-151-sazae-B.htm

北斎 螺旋 黄金比

　自然の中に黄金比がたくさんあるというのは、ほとんど嘘であると前に書きました。

　それに対して、テレホンカードや名刺などの人工物には意図して黄金比が使われています。古くはパルテノン神殿などが有名です。（‘06/12/9 追記：その後パルテノン神殿で意図して黄金比が使われてた事実はないことが分かりました。この部分訂正します。こちらをご覧ください。1,　2）

　葛飾北斎が描いた「富嶽三十六景」の中の「神奈川沖浪裏」に、果たして黄金比の螺旋があるのか？螺旋を調べるソフト「Spiral」で調べてみました。

ありましたね。波の曲線が黄金矩形に沿う螺旋と一致しました。

対数螺旋は、極方程式であらわすと

とあらわせます。　このｂの値は、中心からの直線と螺旋の接線とがなす角度（対数螺旋は等角螺旋とも呼ばれこの値が一定になる）になります。この定数ｂの値が72.8度の対数螺旋が黄金矩形に沿う螺旋です。

　この図では、107.2度になっていますが、回転する方向の違いで　72.8＝180-107.2　となります。

　それにしても葛飾北斎、意図してやったことなのか、感覚のなせる技なのか、それとも偶然なのか。

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ダ・ヴィンチ・コードと黄金比の嘘

「ダ・ヴィンチ・コード」という本を読んでいます。ベストセラーのようです。翻訳本にしては読みやすいです。

　なぜ読み始めたかというと、この本の中の黄金比に関する記述が気になったからです。

このページに「ダ・ヴィンチ・コード」上巻の128ページから132ページが引用されています。

黄金比自体はフィボナッチ数と関連していて興味深いのですが、「自然の中にたくさんある」とか「神秘の比」という記述は、笑ってしまうほどインチキくさい。

　例えば「世界中どのミツバチの巣を調べても、雌の数を雄の数で割ると・・・黄金比になるんだ」という記述、結構信じてしまう人がいるみたい。

　これは、実際にミツバチの個体数を数えてみるまでもなく、ミツバチの個体数は季節によって変化するという事実を確認するまでもなく、「世界中」なんて誰がいつ調べたのか？という疑問を投げかけるだけで「うそ」は明らかでしょう。

　「肉体派の諸君だけじゃなくて・・・君たち全員がだよ。男も女もやってみるんだ。まず頭のてっぺんから床までの長さを測る。次にそれを、へそから床までの長さで割る。答えはなんだと思う・・・黄金比だ」

　美しい理想体型ではなく皆そうだ、といわれたとたん、比を測ってみようという手は止まってしまうはずです。全人類の体のパーツが「1：1.618」というように有効数字４桁まで同じプロポーションなんてあるはずがありません。この項目は、「いくらなんでも誇張だ」と思う人が多いようです。でも、ダン・ブラウンが書いている「自然の中の黄金比」の記述は、すべてこの類の嘘なのです。

　「オウムガイ・・・この螺旋形の直径は、それより九十度内側の直径の何倍になるか想像できるかい・・・黄金比だ。神聖比率。1.618対1」

　これは、先の２例よりは「違う」というのは難しいです。割と一般的に流布されていて、著名な小説家や数学の教授たち（夢枕獏氏や秋山仁氏ら）も確かめもせずに「自然の中の黄金比」の実例として挙げています。でも、これは似ているけれど違う。次のページで明らかにしています。

　オウムガイに黄金比？

　この本の中で「自然の中の実例」として示されたものは、「一部おかしい」のではなくて、すべて嘘なのです。私は、自然の中に偶然1対1.6程度になるものはあるだろうけれど、「たくさんある」とか「普遍的にある」というのは嘘だと思っています。少なくても今まで言われたことを調べるとすべて嘘でした。

　ただ、不思議なのは渦巻き銀河の螺旋には黄金比の螺旋とほとんど同じになるものがあります。銀河の螺旋（←クリック）

　この小説に関して言えば、前書きに「この小説における芸術作品、文書、秘密儀式に関する記述は、すべて事実に基づいている」と書いてありますが、まぁフィクションとして捉えるべきでしょう。

　私には「この程度のレトリックで“神秘”を信じるかい？」と筆者ダン・ブラウンが問いかけているようにも読めます。

　ひとつの例証から全てがあるもに支配されている、と簡単に普遍的真理に拡張したがるのはインチキ宗教のよくやる手です。この場合、そのひとつの例証すら嘘だから始末が悪い。

　外中比を定義したのはユークリッド、ということですが、これを「黄金比」と名づけたのは誰なのかはわかっていないようです。ダ・ヴィンチは黄金比を意識していたようですが、彼は上のようなずさんな議論をしないと思うのです。何らかの叙述はあるのでしょうか？この本には書いているのかな？と思いつつ、読んででいます。どなたか御存知でしょうか？