対数螺旋は、曲線の接線と中心から引いた線とのなす角が一定になっています。そのために、等角螺旋とも呼ばれます。
対数螺旋にとって、この一定になる角度、右の図でいえばbの値が曲線の性質を決めます。
この対数螺旋は、XY座標ではなく、中心からの距離(r)と角度(θ)で示す極座標で表すほうが簡単になります。右の図に対数螺旋の極方程式とその図解を示します。
アンモナイトやオウムガイの殻は対数螺旋になっていることが知られていますが、これを実際に調べる方法は、簡単ではないように見えます。
いくつもの対数螺旋をパソコンで描いてOHPシートにプリントして合わせてみる、という方法で調べているかたもいます。
しかし、調べる対象物を写した写真と、平行線を引ける道具、それに分度器さえあれば、簡単に調べることができます。
中心を通る直線を引いて180°反対の側にある対数螺旋上の点での接線は平行になることを利用します。
① まず、平行線を引けるように三角定規を二枚用意します。
② 適当な位置に接線を引きます。そのままずらして行き、反対側に接線を引きます。
③ 接点に点を描いて、接点同士を直線で結びます。このとき接点を越えてこの直線を延長しておきます。
④ 可能であれば、位置を変えて①~③を繰り返します。
⑤ ③で引いた直線と、①②で引いた接線とのなす角を分度器で測ります。
おまけでついてくるようなペイントソフトを使うと、もっと手軽にできます。右の図をクリックしてみてください。Windowsについてくる「ペイント」で試してみた過程を、アニメーションにしています。欄外に適当に直線を引いて、コピー&貼り付けをしています。
実際の、アンモナイトの写真で試みたのが、右の図です。
この方法の問題点は、
曲線が少なくとも半周以上なければできないことと、分度器で計るために精度が1度程度になることです。
「Spiral」は、パソコンが必要ですが、上の方法よりは使いやすいと自負しています。
←ここ1週間3位でした。若干下降気味?
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